পৃথিবী পৃষ্ঠে একটি ড্রোনের দৈর্ঘ্য 1.0 m. যখন এটি আকাশে উড়ছিল তখন পৃথিবীতে অবস্থিত একজন পর্যবেক্ষক এর দৈর্ঘ্য 0.99 m নির্ণয় করলো । ড্রোনের বেগ কত?

এই সমস্যাটি আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্বের দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length Contraction) ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি। যখন কোনো বস্তু আলোর বেগের কাছাকাছি বেগে গতিশীল থাকে, তখন স্থির পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে বস্তুটির গতির দিকের দৈর্ঘ্য সংকুচিত হয়।

দৈর্ঘ্য সংকোচনের সূত্র:

দৈর্ঘ্য সংকোচনের সূত্রটি হলো:

যেখানে,

    
• \(L\) = গতিশীল অবস্থায় পর্যবেক্ষক কর্তৃক নির্ণীত দৈর্ঘ্য (Contracted length)
    
• \(L_0\) = স্থির অবস্থায় বস্তুর প্রকৃত দৈর্ঘ্য (Proper length বা Rest length)
    
• \(v\) = বস্তুর বেগ
    
• \(c\) = আলোর বেগ (\(3 \times 10^8\) m/s)

প্রদত্ত মানসমূহ:

    
• ড্রোনের প্রকৃত দৈর্ঘ্য, \(L_0 = 1.0\) m
    
• পর্যবেক্ষক কর্তৃক নির্ণীত দৈর্ঘ্য, \(L = 0.99\) m
    
• আলোর বেগ, \(c = 3 \times 10^8\) m/s

ড্রোনের বেগ নির্ণয়:

আমরা সূত্রটিকে \(v\) এর জন্য সমাধান করব:

\(L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

\(\frac{L}{L_0} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

উভয়পাশে বর্গ করে পাই:

\(\left(\frac{L}{L_0}\right)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{L}{L_0}\right)^2\)

\(v^2 = c^2 \left(1 - \left(\frac{L}{L_0}\right)^2\right)\)

\(v = c \sqrt{1 - \left(\frac{L}{L_0}\right)^2}\)

এখন মান বসিয়ে পাই:

\(v = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \sqrt{1 - \left(\frac{0.99 \text{ m}}{1.0 \text{ m}}\right)^2}\)

\(v = (3 \times 10^8) \sqrt{1 - (0.99)^2}\)

\(v = (3 \times 10^8) \sqrt{1 - 0.9801}\)

\(v = (3 \times 10^8) \sqrt{0.0199}\)

\(v = (3 \times 10^8) \times 0.14106735\) (প্রায়)

\(v \approx 0.42320205 \times 10^8 \text{ m/s}\)

\(v \approx 4.232 \times 10^7 \text{ m/s}\)

সুতরাং, ড্রোনের বেগ প্রায় \(4.23 \times 10^7 \text{ m/s}\) হবে।